در سال ۲۰۰۳ یک ریاضیدان روسی ادعا کرده‌بود که توانسته‌است گمانه پوانکاره را اثبات کند، که یکی از معروف‌ترین مسائل حل‌نشده جهان ریاضیات بود. گریگوری پرلمان ریاضیدان انستیتو Steklov و عضو آکادمی علمی روسیه در سنپترزبورگ، کار خود را در یک سری از سلسله مقالات منتشر کرد.
گمانه پوانکاره که توسط Henri Poincaré ریاضیدان فرانسوی در سال ۱۹۰۴ فرمول‌بندی شده‌است، یکی از سوال‌های اساسی در علم توپولوژی است، علمی که به بررسی خواص هندسی اشیایی می‌پردازد که وقتی پیچ می‌خورند،کش می‌یابند یا منقبض می‌شوند، تغییر نمی‌یابند.
پوسته توخالی سطح کره زمین چیزی است که توپولوژیست‌ها آن را کره دوبعدی می‌نامند. ویژگی آن این است که هرنخ از ریسمانی که آن را محاط می‌کند، می‌تواند در یک نقطه مشترک ختم شود.برعکس در سطح یک دونات، ریسمانی که از سوراخ وسط آن می‌گذرد الزاما سطح صفحه را قطع می‌کند.
از قرن ۱۹ریاضیدانان پی برده‌اند که کره‌ای با این ویژگی تنها در یک فضای دو بعدی محدود شده‌است، اما در بعدهای بالاتر چه می‌گذرد؟
گمانه پوانکاره نظری متناظر در مورد کره سه‌بعدی مطرح می‌کند، موضوعی که تصویرسازی ذهنی آن برای افرادی که سررشته‌ای از ریاضی ندارند، چالش‌برانگیز است. به طور کلی می‌گوید که کره سه بعدی تنها محدود به فضای سه بعدی بدون هیچ سوراخی است.
Benson استاد ریاضی در دانشگاه شیکاگو:
قسمت دشوار توضیح آن این است که چگونه به مردم توصیف کنیم که فضا چه شکلی است، درحالیکه فقط در آن واحد تنها قسمت کوچکی از آن را می‌توان دید. در اوایل از نظر مردم تئوری زمین مسطح چندان هم بیراهه نبود.
این گمانه به خاطر اینکه راه‌حل‌های زیادی برای آن ارائه شده و بعدا مشخص شده که اشتباه بوده‌اند، کمی بدنام شده‌است. البته پوانکاره حودش اذعان داشت که آخرین نسخه او از این گمانه اشتباه بوده‌است. از آن زمان، تعداد زیادی از ریاضیدانان ادعا کرده بوده‌اند که آن را ثابت کرده‌اند ولی متخصصان خطاهای جدی را از آن‌ها یافتند.
نتایج مطالعات Parelman راه‌حلی را ارائه داده‌است که مسئله‌ای فراتر از آنچه که بحث شده را دربرمی‌گیرد. نتایج Parleman می‌گوید که اثبت او در مورد هندسه فضاهای سه‌بعدی است و گمانه پوانکاره تنها بخش کوچکی از آن است.
مقالات او می‌گوید که او چیزی را اثبات کرده‌است که به گمانه هندسی‌سازی معروف است، توصیف کاملی از هندسه فضاهای سه‌بعدی.
از قرن ۱۹ ریاضیدانان می‌دانسته‌اند که به نوعی از فضای ۲بعدی به نام خمینه می‌توان ساختارهندسی غیرقابل خمشی را داد که از همه جهت به یک شکل باشد. ریاضیدانان توانستند تمام حالت‌های احتمالی برای خمینه‌های دوبعدی را لیست کنند و توضیح بدهند که چگونه موجودی که بر روی کره زندگی می‌کند می‌تواند بگوید که بر روی چه فضایی ایستاده‌است.
با این حال در دهه ۵۰ یک ریاضیدان روسی اثبات کرد که این مسئله در ۴ بعد و حتی در ۳ بعد غیرقابل‌حل است، سوال به طرز ناامیدکننده‌ای پیچیده به نظر می‌رسید.
در اوایل دهه ۷۰ William P. Thurston، استاد دانشگاه کالیفرنیا، گمانه‌ای داشت مبنی بر اینکه خمینه‌های سه‌بعدی از تکه‌های همگنی تشکیل شده‌اند که فقط به طرق مشخصی می‌توانند در کنارهم قرار بگیرند و اثبات کرد که گمانه او در بسیاری از موارد درست است.
مطالعات Parleman قطعه اخر موردنیاز برای توصیف کامل ساختار خمینه‌های سه‌بعدی را فراهم کرد و توانست سوال معروف پوانکاره را جواب دهد. رویکرد Parleman از تکنیک معروفی به نام شارش ریچی استفاده کرد که توسط Hamilton طراحی شده‌بود.
شارش ریچی فرایند میانگین‌سازی است که برای هموارسازی برآمدگی‌های خمینه استفاده می‌شود. Hamilton از شارش‌های ریچی استفاده کرد تا گمانه هندسی‌سازی را در برخی موارد اثبات کند و برنامه‌ای مشخص را برای چگونگی استفاده از آن در اثبات گمانه هندسی‌سازی در همه موارد تدوین کند. با این حال او به انواعی از توده‌ها برخورد که به طور غیرقابل‌کنترلی، براثر فرآیند میانگین‌سازی رشد کرده‌بودند.
Mrowka می‌گوید:
کاری که Parleman انجام داده‌است، این است که راه‌های جدید و جالبی را برای مهار این تمایزات ابداع کرده‌است. کار او بیشتر براساس مطالعات Hamilton است ولی در عین حال موارد شگفت‌انگیزی را به آن افزوده‌است.
