دستاوردهای عظیم (۸۳): اثبات قضیه آخر فرما توسط اندرو وایلز

Andrew wiles تئوریسین عددی بریتانیایی در سال ۲۰۱۶ به خاطر راه حلی که برای قضیه آخر فرما یافته‌بود برنده جایزه Abel درسال ۲۰۱۶ شد؛ مسئله‌ای که برخی از بزرگ‌ترین نوابغ را به مدت ۳ و نیم قرن سردرگم ساخته‌بود.

Martin Badison مدیرانستیتو ریاضی اکسفورد، که در ساختمانی قرار دارد که به افتخار Wiles نام‌گذاری شده‌است، می‌گوید:

حل مسئله‌ای که در نظر بسیاری از افراد بسیار سخت می‌نماید، ولی با این حال توضیح آن بسیار ساده است، شاید Wiles را به یکی از پرافتخارترین ریاضیدانان قرن بیستم بدل ساخته‌است.  

تحقیقی به درازای یک عمر

داستان Wiles داستان معروفی درباره سرسختی و انعطاف‌پذیری در زندگی است. در حالیکه در دهه۸۰ عضو هیئت علمی دانشگاه Princeton در نیوجرسی بود، راهی ۷ ساله را به تنهایی برای اثبات این مسئله شروع کرد و در حالی در زیرشیروانی خانه‌اش کار می‌کرد که هیجکس جز همسرش از این موضوع خبرنداشت. در ژوئن ۱۹۹۳ برای اعلام یک خبر تاریخی در کنفرانسی در شهر خود کمبریج شرکت کرد اما دو ماه بعد آن همکار او نشان داد که اثبات او یک اشتباه جدی دارد. پس از یک سال تلاش بی‌وقفه، و به کمک یکی از دانش‌جویان سابقش Richard Taylor که هم اکنون در انستیتو مشغول تحصیل در مقاطع بالاتر است، توانست اثبات خود را تعمیر کند. وقتی دو مقاله آن‌ها در سال ۱۹۹۵ چاپ شد، کل یک شماره ژورنال Annals of Mathematics به آن‌ها اختصاص یافت.

Wiles هنگامی که در کمبریج بچه بود با ریاضیدان فرانسوی Pierre de Fermat آشنا شد. همانطور که به او گفته شده‌بود، Fermat قضیه شناخته‌شده خود را به صورت یک نوشته دست‌نویس در حاشیه کتابی در سال ۱۶۳۷ نوشت:

من برای این قضیه اثبات جالبی دارم اما در حاشیه کتاب جای کافی برای نوشتن نیست.

Wiles در مورد ایده Fermat می‌گوید:

به نظرم خیلی شاعرانه است. از آن داستان‌هایی است که قوه تخیل مردم را در جوانی به خود مشغول می‌کند و وارد دنیای ریاضی می‌کند.

با اینکه فکر می‌کرد که ممکن است راه‌حلی در آن زمان داشته‌باشد، تنها یک اثبات را برای یک مورد به خصوص داشت، که آن هم به ازای n=4 صادق بود. یک قرن بعد، Leonhard Euler قضیه را برای n=3 ثابت کرد، و مطالعات Sophie Germain به ازای n های زیادی قضیه را اثبات می‌کرد، ولی باز هم همه آن‌ها را شامل نمی‌شد. متخصصان زمان در اینکه شکل عمومی قضیه بدون داشتن ابزارهای مناسب ریاضی نمی‌تواند اثبات شود، هم‌نظر بودند تا اینکه قرن بیستم فرا رسید.

در سال ۱۹۸۳، Gerd Faltings ریاضیدان آلمانی، که امروزه در انستیتو ریاضیات  Max Planck شهر Bonn مشغول به کار است، قدم بزرگی در اثبات این برداشت که قضیه فرما حداکثر تعداد متناهی راه‌حل دارد، با این حال نتوانست نشان دهد که عدد باید صفر باشد(در حقیقت، او نتیجه‌ای را اثبات کرد که در نظر متخصصان عمیق‌تر و جالب‌تر از خود قضیه آخر فرما بود؛ که نشان می‌داد نوع وسیع‌الطیف‌تری از معادلات وجود دارند که حداکثر تعداد متناهی راه‌حل دارند).

برای اینکه بازه را به صفر محدود کنیم، Wiles رویکرد متفاوتی را اتخاذ کرد: او گمانه Shimura-Taniyama را ثابت کرد؛ پروپوزالی مربوط به دهه ۵۰ که توصیف می‌کرد چگونه دو شاخه کاملا متفاوت در ریاضی، به نام‌های منحنی‌های بیضوی و فرم‌های پیمانه‌ای از لحاظ مفهومی معادل هم هستند. بقیه نشان دادند که با اثبات این هم‌ترازی، می‌توان اثبات قضیه فرما را هم بدست اورد؛ و همانطور که نتایج Falting نشان می‌داد، بیشتر ریاضیدانان این را عمیق‌تر از خود قضیه اخر فرما یافتند(در متن تقدیر از Wiles جایزه Abel بدین گونه آمده‌است که “به پاس اثبات شگفت‌انگیز قضیه آخر فرما به وسیله کاربرد گمانه پیمانه‌ای در منحنی‌های بیضوی نیمه‌پایدار، که عصر جدیدی را تئوری اعداد گشوده‌است”).

ارتباط بین گمانه Shimura–Taniyama و قضیه فرما برای اولین بار در سال ۱۹۸۴ توسط Gerhard Frey تئوریسین معروف اعداد مطرح شد، که امروزه در دانشگاه Duisburg-Essen آلمان حضور دارد. او ادعا کرد که هرگونه مثال نقضی که برای قضیه آخر فرما وارد شود، برای گمانه Shimura–Taniyama هم صادق خواهدبود.

کمی بعد Kenneth Ribet، ریاضیدان دانشگاه کالیفرنیا، ثابت کرد که حق با Frey بود، بنابراین هر کس که گمانه اخیر را ثابت کند، فرما را هم پوشش خواهد داد. با این حال، به نظر نمی‌امد که کار چندان هم راحت‌تر شده‌باشد. Ribetدر سال ۱۹۹۶ در مصاحبه با BBC گفته بود:

Andrew wiles از معدود افرادی بود که جسارت این را داشت تا رویای اثبات این گمانه را در سر بپروراند.

Rognes اشاره کرد که قضیه آخر فرما با سوال عمیق دیگری در تئوری اعداد نیز مرتبط بود که به آن، گمانه abc گفته می‌شد. Shinichi Mochizuki  ریاضیدان انستیتو تحقیقاتی علوم ریاضی دانشگاه Kyoto در ژاپن ادعا کرد که این گمانه را در سال ۲۰۱۲ اثبات کرده‌است، با این حال اثبات تقریبا ۵۰۰ صفحه‌ای او هنوز توسط همکارانش ارزیابی می‌شود. برخی ریاضیدانان می‌گویند که مطالعات Mochizuki می‌تواند راه دیگری برای اثبات فرما باشد، اگر چه Wiles می‌گوید که تحقق این مورد با تردید همراه است.